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支持向量机SVM(一)  

2013-03-22 17:59:54|  分类: 数据结构与算法 |  标签: |举报 |字号 订阅

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1 简介

支持向量机基本上是最好的有监督学习算法了。最开始接触SVM是去年暑假的时候,老师要求交《统计学习理论》的报告,那时去网上下了一份入门教程,里面讲的很通俗,当时只是大致了解了一些相关概念。这次斯坦福提供的学习材料,让我重新学习了一些SVM知识。我看很多正统的讲法都是从VC 维理论和结构风险最小原理出发,然后引出SVM什么的,还有些资料上来就讲分类超平面什么的。这份材料从前几节讲的logistic回归出发,引出了SVM,既揭示了模型间的联系,也让人觉得过渡更自然。

2 重新审视logistic回归

Logistic回归目的是从特征学习出一个0/1分类模型,而这个模型是将特性的线性组合作为自变量,由于自变量的取值范围是负无穷到正无穷。因此,使用logistic函数(或称作sigmoid函数)将自变量映射到(0,1)上,映射后的值被认为是属于y=1的概率。

形式化表示就是

假设函数

clip_image001

其中x是n维特征向量,函数g就是logistic函数。

clip_image002的图像是

clip_image003

可以看到,将无穷映射到了(0,1)。

而假设函数就是特征属于y=1的概率。

clip_image004

当我们要判别一个新来的特征属于哪个类时,只需求clip_image006,若大于0.5就是y=1的类,反之属于y=0类。

再审视一下clip_image006[1],发现clip_image006[2]只和clip_image008有关,clip_image008[1]>0,那么clip_image010,g(z)只不过是用来映射,真实的类别决定权还在clip_image008[2]。还有当clip_image012时,clip_image006[3]=1,反之clip_image006[4]=0。如果我们只从clip_image008[3]出发,希望模型达到的目标无非就是让训练数据中y=1的特征clip_image012[1],而是y=0的特征clip_image014。Logistic回归就是要学习得到clip_image016,使得正例的特征远大于0,负例的特征远小于0,强调在全部训练实例上达到这个目标。

图形化表示如下:

clip_image017

中间那条线是clip_image019,logistic回顾强调所有点尽可能地远离中间那条线。学习出的结果也就中间那条线。考虑上面3个点A、B和C。从图中我们可以确定A是×类别的,然而C我们是不太确定的,B还算能够确定。这样我们可以得出结论,我们更应该关心靠近中间分割线的点,让他们尽可能地远离中间线,而不是在所有点上达到最优。因为那样的话,要使得一部分点靠近中间线来换取另外一部分点更加远离中间线。我想这就是支持向量机的思路和logistic回归的不同点,一个考虑局部(不关心已经确定远离的点),一个考虑全局(已经远离的点可能通过调整中间线使其能够更加远离)。这是我的个人直观理解。

3 形式化表示

我们这次使用的结果标签是y=-1,y=1,替换在logistic回归中使用的y=0和y=1。同时将clip_image016[1]替换成w和b。以前的clip_image021,其中认为clip_image023。现在我们替换clip_image025为b,后面替换clip_image027clip_image029(即clip_image031)。这样,我们让clip_image033,进一步clip_image035。也就是说除了y由y=0变为y=-1,只是标记不同外,与logistic回归的形式化表示没区别。再明确下假设函数

clip_image037

上一节提到过我们只需考虑clip_image008[4]的正负问题,而不用关心g(z),因此我们这里将g(z)做一个简化,将其简单映射到y=-1和y=1上。映射关系如下:

clip_image039

4 函数间隔(functional margin)和几何间隔(geometric margin)

给定一个训练样本clip_image041,x是特征,y是结果标签。i表示第i个样本。我们定义函数间隔如下:

clip_image043

可想而知,当clip_image045时,在我们的g(z)定义中,clip_image047clip_image049的值实际上就是clip_image051。反之亦然。为了使函数间隔最大(更大的信心确定该例是正例还是反例),当clip_image045[1]时,clip_image053应该是个大正数,反之是个大负数。因此函数间隔代表了我们认为特征是正例还是反例的确信度。

继续考虑w和b,如果同时加大w和b,比如在clip_image055前面乘个系数比如2,那么所有点的函数间隔都会增大二倍,这个对求解问题来说不应该有影响,因为我们要求解的是clip_image057,同时扩大w和b对结果是无影响的。这样,我们为了限制w和b,可能需要加入归一化条件,毕竟求解的目标是确定唯一一个w和b,而不是多组线性相关的向量。这个归一化一会再考虑。

刚刚我们定义的函数间隔是针对某一个样本的,现在我们定义全局样本上的函数间隔

clip_image058

说白了就是在训练样本上分类正例和负例确信度最小那个函数间隔。

接下来定义几何间隔,先看图

clip_image059

假设我们有了B点所在的clip_image057[1]分割面。任何其他一点,比如A到该面的距离以clip_image061表示,假设B就是A在分割面上的投影。我们知道向量BA的方向是clip_image063(分割面的梯度),单位向量是clip_image065。A点是clip_image041[1],所以B点是x=clip_image067(利用初中的几何知识),带入clip_image057[2]得,

clip_image069

进一步得到

clip_image070

clip_image061[1]实际上就是点到平面距离。

再换种更加优雅的写法:

clip_image071

clip_image073时,不就是函数间隔吗?是的,前面提到的函数间隔归一化结果就是几何间隔。他们为什么会一样呢?因为函数间隔是我们定义的,在定义的时候就有几何间隔的色彩。同样,同时扩大w和b,w扩大几倍,clip_image075就扩大几倍,结果无影响。同样定义全局的几何间隔clip_image076

5 最优间隔分类器(optimal margin classifier)

回想前面我们提到我们的目标是寻找一个超平面,使得离超平面比较近的点能有更大的间距。也就是我们不考虑所有的点都必须远离超平面,我们关心求得的超平面能够让所有点中离它最近的点具有最大间距。形象的说,我们将上面的图看作是一张纸,我们要找一条折线,按照这条折线折叠后,离折线最近的点的间距比其他折线都要大。形式化表示为:

clip_image077

这里用clip_image075[1]=1规约w,使得clip_image079是几何间隔。

到此,我们已经将模型定义出来了。如果求得了w和b,那么来一个特征x,我们就能够分类了,称为最优间隔分类器。接下的问题就是如何求解w和b的问题了。

由于clip_image081不是凸函数,我们想先处理转化一下,考虑几何间隔和函数间隔的关系,clip_image083,我们改写一下上面的式子:

clip_image084

这时候其实我们求的最大值仍然是几何间隔,只不过此时的w不受clip_image081[1]的约束了。然而这个时候目标函数仍然不是凸函数,没法直接代入优化软件里计算。我们还要改写。前面说到同时扩大w和b对结果没有影响,但我们最后要求的仍然是w和b的确定值,不是他们的一组倍数值,因此,我们需要对clip_image086做一些限制,以保证我们解是唯一的。这里为了简便我们取clip_image088。这样的意义是将全局的函数间隔定义为1,也即是将离超平面最近的点的距离定义为clip_image090。由于求clip_image090[1]的最大值相当于求clip_image092的最小值,因此改写后结果为:

clip_image093

这下好了,只有线性约束了,而且是个典型的二次规划问题(目标函数是自变量的二次函数)。代入优化软件可解。

到这里发现,这个讲义虽然没有像其他讲义一样先画好图,画好分类超平面,在图上标示出间隔那么直观,但每一步推导有理有据,依靠思路的流畅性来推导出目标函数和约束。

接下来介绍的是手工求解的方法了,一种更优的求解方法。

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